2021年山東專升本《高等數學Ⅰ》考試大綱中明確了考試內容與要求，考試采用閉卷、筆試形式。試卷滿分 100 分，考試時間 120 分鐘?？荚囶}型從以下類型中選擇：選擇題、填空題、判斷題、計算題、解答題、證明題、應用題。具體考試內容如下：

考試內容與要求

本科目考試要求考生掌握高等數學的基本概念、基本理論和基本方法， 主要考查學生識記、理解、計算、推理和應用能力，為進一步學習奠定基礎。具體內容與要求如下：

一、函數、極限與連續

(一)函數

1. 理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值，會建立應用問題的函數關系。

2. 掌握函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

3. 理解分段函數、反函數和復合函數的概念。

4. 掌握函數的四則運算與復合運算。

5. 掌握基本初等函數的性質及其圖形，理解初等函數的概念。

(二)極限

1. 理解數列極限和函數極限(包括左極限和右極限)的概念。理解函數極限存在與左極限、右極限存在之間的關系。

2. 了解數列極限和函數極限的性質。了解數列極限和函數極限存在的兩個收斂準則(夾逼準則與單調有界準則)。熟練掌握數列極限和函數極限

的四則運算法則。

1. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會比較無窮小量的階(高階、低階、同階和等價)。會用等價無窮小量求極限。

(三)連續

1. 理解函數連續性(包括左連續和右連續)的概念，掌握函數連續與左連續、右連續之間的關系。會求函數的間斷點并判斷其類型。

2. 掌握連續函數的四則運算和復合運算。理解初等函數在其定義區間內的連續性，并會利用連續性求極限。

3. 掌握閉區間上連續函數的性質(有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理、零點定理)，并會應用這些性質解決相關問題。

二、一元函數微分學

(一)導數與微分

1. 理解導數的概念及幾何意義，會用定義求函數在一點處的導數(包括左導數和右導數)。會求平面曲線的切線方程和法線方程。理解函數的可導性與連續性之間的關系。

2. 熟練掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，熟練掌握基本初等函數的導數公式。

3. 掌握隱函數求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求導方法，會求分段函數的導數。

4. 理解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。

5. 理解微分的概念，理解導數與微分的關系，掌握微分運算法則，會求函數的一階微分。

(二)中值定理及導數的應用

1.理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。會用羅爾定理和拉格朗日中值定理解決相關問題。

3. 理解函數極值的概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，會利用函數的單調性證明不等式，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。

4. 會用導數判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點以及水平漸近線與垂直漸近線。

三、一元函數積分學

(一)不定積分

1. 理解原函數與不定積分的概念，了解原函數存在定理，掌握不定積分的性質。

2. 熟練掌握不定積分的基本公式。

3. 熟練掌握不定積分的第一類、第二類換元法和分部積分法。

4. 掌握簡單有理函數的不定積分的求法。

(二)定積分

1. 理解定積分的概念及幾何意義，了解可積的條件。

2. 掌握定積分的性質。

3. 理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

4. 熟練掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

5. 會用定積分表達和計算平面圖形的面積、旋轉體的體積。

四、向量代數與空間解析幾何

(一)向量代數

1. 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影。

2. 掌握向量的線性運算，會求向量的數量積與向量積。

3. 會求兩個非零向量的夾角，掌握兩個向量平行、垂直的條件。

(二)平面與直線

1. 會求平面的點法式方程、一般式方程。會判斷兩平面的位置關系(垂直、平行)。

2. 會求點到平面的距離。

3. 會求直線的對稱式方程、一般式方程、參數式方程。會判斷兩直線的位置關系(平行、垂直)。

4. 會判斷直線與平面的位置關系(垂直、平行、直線在平面上)。

五、多元函數微積分學

(一)多元函數微分學

1. 了解二元函數的概念、幾何意義及二元函數的極限與連續概念，會求二元函數的定義域。

2. 理解二元函數偏導數和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件。掌握二元函數的一階、二階偏導數的求法，會求二元函數的全微分。

3. 掌握復合函數一階偏導數的求法。

4. 掌握由方程 F(x, y, z) = 0 所確定的隱函數 z = z(x, y) 的一階偏導數的計算方法。

5. 會求二元函數的無條件極值。

(二)二重積分

1. 理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。

2. 掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。

六、無窮級數

(一)數項級數

1. 理解數項級數收斂、發散的概念。掌握收斂級數的基本性質，掌握級數收斂的必要條件。

2. 掌握幾何級數、調和級數與 p 級數的斂散性。

3. 掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法。

4. 掌握交錯級數收斂性的萊布尼茨判別法。

5. 了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念。

(二)冪級數

1. 理解冪級數的概念，會求冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域。

2. 掌握冪級數在其收斂區間內的性質(和、差、逐項求導與逐項積分)。

3. 掌握冪級數的和函數在其收斂域上的性質。

4. 會利用逐項求導和逐項積分求冪級數的和函數。

的初等函數展開為 x - x0 的冪級數。

七、常微分方程

(一)一階微分方程

1. 理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2. 掌握可分離變量微分方程的解法。

3. 掌握一階線性微分方程的解法。

(二)二階線性微分方程

1. 了解二階線性微分方程解的結構。

2. 掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

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